Álgebra de dimensión finita : Extensiones triviales

Abstract

En esta Tesina se estudian algebras de dimensión finita sobre un cuerpo k y su categoría de módulos. Posteriormente, se analizan distintas familias de álgebras de dimensión finita: álgebras schurian, monomiales y gentiles. El objetivo central de esta Tesina es trabajar con un tipo particular de algebras: las extensiones triviales de álgebras pertenecientes a las familias previamente mencionadas. El carcaj de la extensión trivial T(Λ) de un algebra de dimensión finita Λ = kC/I fue descripto en [5], por Fernández y Platzeck. En este trabajo analizamos la descripción de las relaciones de T(Λ) cuando Λ es un álgebra perteneciente a alguna de las subfamilias mencionadas en el párrafo anterior. Finalmente, se analiza una generalización donde se describen las relaciones de T(Λ) para cualquier algebra de dimensión finita, presentada en [6]. De esta manera, se presenta el isomorfismo existente entre T(Λ) y un cociente del algebra de caminos de un carcaj por un ideal admisible de relaciones. Además, se analizan y ejemplifican caracterizaciones dadas en [1] y [2]. Dada un algebra schurian Λ se encuentran todas las algebras schurian Λ tales que T(Λ) ∼= T(Λ). De igual manera, a partir de un algebra gentil Λ, cuyos ciclos cumplen determinadas propiedades, se encuentran todas las algebras gentiles Λ tales que Λ ∼= T(Λ). This thesis presents the study of finite-dimension algebras related to a k field and their category of modules. Afterwards, groups of finite dimension algebras are analyzed: schurian, monomial and gentle. The main purpose of this thesis is to work with a particular type of algebra: the trivial extensions of algebra belonging to the groups mentioned previously. The quiver of the trivial extension T(Λ) of a finite dimension algebra Λ = kC/I was described in [5] by Fernandez and Platzeck. In this work, we analyze the description of the relations of T(Λ) when Λ is an algebra belonging to one of the subfamilies mentioned in the previous paragraph. Finally, we analyze a generalization where T(Λ) relations for any finite-dimension algebras are described, presented in [6]. In this way, it is presented the isomorphism of T(Λ) and a quotient of the path algebra of a quiver by an admissible ideal of relations. Furthermore, characterizations given in [1] and [2] are analyzed and exemplified. Given a Λ schurian algebra, all Λ schurian algebras are found such that T(Λ) ∼= T(Λ). In the same way, from a Λ gentle algebra, which cycles accomplish certain properties, all Λ gentle algebras such that Λ ∼= T(Λ) are found.