Estructuras algebraicas ordenadas asociadas y lógicas no clásicas

Abstract

En los últimos años el estudio de lógicas que admiten más de dos valores de verdad ha adquirido una importancia creciente, y ha encontrado, entre otras cosas, importantes aplicaciones en algunas ramas de la computación, como por ejemplo el diseño de sistemas expertos capaces de tomar decisiones basándose en información incompleta, incierta o vaga. Una clase importante de estas lógicas son las lógicas que admiten como valores de verdad cualquier número en el segmento real [0,1] y cuyos modelos algebraicos son las denominadas mv-álgebras. Estas álgebras son los modelos algebraicos de la lógica proposicional infinito-valuada de Lukasiewicz. Una parte importante de la lógica es el estudio de la cuantificación, que en la lógica clásica se corresponde con las llamadas lógicas de primer orden y, como caso particular, la lógica monádica que corresponde al estudio de la teoría de la cuantificación en una variable. Los modelos algebraicos de la lógica monádica clásica son las denominadas álgebras de boole monádicas que fueron estudiadas y desarrolladas por Halmos en [HA]. Diferentes generalizaciones de la noción de cuantificador en la lógica clásica han sido estudiadas en el contexto de las lógicas multivaluadas y de las lógicas infinito valuadas (ver por ejemplo [LM], [H], [Lm] y [DINO]). Sin embargo, estos cuantificadores no poseen propiedades deseables, o esperables, con respecto a los principales conectivos de las lógicas polivalentes correspondientes, lo cual ha motivado nuestra búsqueda de una noción alternativa de cuantificador para las lógicas n-valentes de Lukasiewicz. El problema central es la búsqueda de un concepto adecuado de cuantificador en las lógicas multivaluadas, tomando como punto de partida las investigaciones que ya hemos comenzado en el caso de la lógica trivalente de Lukasiewcz. Por otra parte, muchas técnicas provenientes del álgebra universal y de la teoría de modelos han permitido deducir resultados en el ámbito del álgebra clásica, como por ejemplo en la teoría de grupos, anillos y cuerpos (ver [BS]). Estudiaremos la estructura del reticulado de los submódulos de un módulo dado sobre un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado con el fin de obtener, a partir de este estudio, propiedades del módulo en cuestión. La idea es enfatizar las conexiones entre dos áreas importantes de la matemática como son la teoría de módulos y el álgebra universal, siendo esta última de fundamental importancia en el estudio de diversas estructuras algebraicas ordenadas. Referencias [BS] S. Burris y H. P. Sankappanavar, A course in universal algebra, graduate texts in mathematics 78, Springer Verlag, New York, 1981. [DINO] Antonio Di Nola, On monadic mv-algebras. Ann. Pure appl. Logic 128 (1-3): 125-139 2004. [H] P. Hájek, Methamathematics of fuzzy logic, Kluwer Academic Publisher, The Netherlands, 1998. [HA] P. R. Halmos, Algebraic logic. I. Monadic boolean algebras., composition math. 12, 1955, pp. 217-249. [LM] l. Monteiro, Algebras de Lukasiewicz trivalentes monádicas, Notas de lógica matemática, 32, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, 1974.

In the last years the study of logics which admit more than two values has really acquired a growing importance, and it has found, among other things, important applications in some branches of the computation, such that the design of expert systems which are capable of to take decisions being based on incomplete, uncertain or vague information. An important class of these logics is the class of logics that admit as true-values any number in the real segment [0,1] and whose algebraic models are the denominated mv-algebras. These algebras are the algebraic models of the Lukasiewicz infinite-valued propositional calculus. An important part of the logic is the study of the quantification, that in the classic logic it corresponds to logics of first order; particularly, the monadic logic that corresponds to the study of the theory of the quantification in one variable. The algebraic models of the monadic classic logic are the monadic boolean algebras that were studied and developed by Halmos in [HA]. Different generalizations of the notion of quantifier in the classic logic have been studied in the context of the many-valued logics and of the infinite-valued logics (see for example [LM], [H], [LM] and [DINO]). However, these quantifiers does not possess desirable properties with regard to the main connectives of the corresponding many-valued logics, which has motivated our search of an alternative notion of quantifier for the n-valued logics of Lukasiewicz. The central problem is the search of an appropriate concept of quantifier in the many- valued logics, taking as starting point the investigations that we have already begun in the case of the three-valued logic of Lukasiewcz. On the other hand, many techniques coming from the universal algebra and from the model theory have allowed to derive results in the classic algebra, for example, in the theory of groups, rings and fields (to see [BS]). We will study the structure of the lattice of the sub-modules of a given module on an algebra of finite dimension over an algebraically closed field with the purpose of obtaining, by means of this study, properties of this module. The idea is to emphasize the connections between two important areas of the mathematic, the theory of modules and the universal algebra, being this last of fundamental importance in the study of several ordered algebraic structures. References [BS] S. Burris y H. P. Sankappanavar, A Course In Universal Algebra, Graduate Texts In Mathematics 78, Springer Verlag, New York, 1981. [DINO] Antonio Di Nola, On Monadic Mv-Algebras. Ann. Pure Appl. Logic 128 (1-3): 125-139 2004. [H] P. Hájek, Methamathematics Of Fuzzy Logic, Kluwer Academic Publisher, The Netherlands, 1998. [HA] P.R. Halmos, Algebraic Logic. I. Monadic Boolean Algebras., Composition Math. 12, 1955, pp. 217-249. [LM] L. Monteiro, Algebras De Lukasiewicz Trivalentes Monádicas, Notas de Lógica Matemática, 32, Universidad Naciona del Sur, Bahía Blanca, 1974.