Mecánica geométrica : problemas homológicos y representaciones de álgebras

Abstract

Respecto a 'Teoría de representaciones de álgebras de Artin' se estudiaron las álgebras extensión por relación de orden superior. Esta nueva familia de álgebras es una generalización de las álgebras extensión por relación. Actualmente, se continúa con el estudio del álgebra extensión por relación superior de las álgebras inclinadas iteradas de tipo an. También se está estudiando el Carcaj asociado al álgebra m- iterada inclinada de conglomerado pues ésta se relaciona con las álgebras inclinadas m-iteradas. Se ha continuado con el estudio de la discretización del disco de Euler. Teniendo en cuenta la simetría del sistema se han aplicado técnicas de reducción discreta en el marco de la teoría de gropoides de lie a este ejemplo de interés. Usando cálculo variacional discreto adaptado a la mecánica noholónoma, se han obtenido las ecuaciones discretas de Lagrange-D'Alembert-Poincaré para el disco de Euler y, a partir de ellas, se ha derivado un integrador variacional para este ejemplo y se han realizado simulaciones numéricas de la trayectoria de un caso general, mostrando el excelente comportamiento de su energía para distinto número de iteraciones en relación al método stándard de Runge-Kutta de segundo orden. Se ha estudiado la teoría de campo con límites en sistemas mecánicos con finitos grados de libertad, a fin de analizar la forma en que tal estructura se reduce a las conocidas. Específicamente, se ha visto que el sistema en cuestión es el modelo de Maxwell- Vlasov para plasmas, que puede reducirse a un circuito simple eligiendo convenientemente los campos y la distribución inicial de corriente. Se ha trabajado sobre las conexiones entre la teoría de cohomología y la mecánica, estudiando diferentes trabajos (entre ellos, [1, 2, 3, 4]) que muestran algunas de las relaciones existentes entre distintas cohomologías y las descripciones geométricas de la mecánica. Concretamente, se ha estudiado de qué manera la estructura de álgebra del espacio de funciones c **infinito (m) sobre una variedad de Poisson permite definir un corchete de Lie de 1-formas que dota al fibrado cotangente de la variedad de una estructura de algebroide de lie, y cómo ésta permite definir un complejo cuya cohomología es la llamada cohomología de Poisson o de Lichnerowicz-Poisson. Esta cohomología se utiliza como marco para expresar obstrucciones a la cuantización geométrica o a la cuantización por deformaciones. En particular, se ha visto cómo en el caso de una variedad simpléctica la cohomología de Poisson coincide con la cohomología de De Rham de la variedad. También se han analizado otras estructuras que no son de Poisson como las variedades de contacto cuyo corchete, que no es una derivación en cada argumento, motiva la introducción de los llamados corchetes de jacobi. En una variedad de Jacobi, el fibrado de 1-jets admite una estructura de algebroide de Lie que permite introducir a cohomología de Lichnerowicz-Jacobi que juega un papel importante en el proceso de cuantización geométrica de una variedad de Jacobi, así como en el problema de la existencia de representaciones de precuantizacación sobre un fibrado de línea complejo para una variedad de Jacobi.

In the concern of 'Representation of Artin algebras' has been studied the higher order relation-extension algebras. This new family of algebras is a generalization of the relation-extension algebras. At this moment, the study of the higher relation-extension algebras of the iterated tilted algebras of type an is in progress. Also is in study the quiver associated to the m-iterated cluster tilted algebra because has a strong relation with the m-iterated tilted algebras. The study of the discretization of the Euler's disc has been studied. Having in mind the symmetry of the system, discrete reduction technics has been applied in the context of the Lie groupoids theory. Using discrete variational calculus adapted to non-holonom mechanics, the Lagrange-D'Alembert-Poincaré's discrete equations for the Euler's disc has been found, and, because of them, a variational integrator has been derivated for this example and numerical simulations of the trajectory in a general case, showing an excellent behavior of his energy for different number of iterations in relation with the second order Runge-Kutta standard method. The theory of fields with limits in mechanical systems has been studied with finite liberty degrees, to analyze the way this structure can be reduce to the known ones. Specifically, has been seen that the system in this case is the Maxwell-Vlaslov model for plasmas, which can be reduce to a simple circuit choosing conveniently the fields and the initial distribution of the current. Work has been done about the connections between the cohomology and mechanical theory, studying different papers (for example [1, 2, 3, 4]) which shows some of the existing relations between different cohomologies and the geometrical description of the mechanics. In particular, has been studied the way the algebra structure of the space c **infinito(m) over a Poisson variety permits define a lie bracket of 1-forms which gives to the cotangent fiber a structure of lie algebroid, and this one permits define a complex which cohomology is called Poisson or Lichnerowicz-Poisson cohomology. This cohomology is used like frame to express the obstructions to the geometric quantization or the quantization for deformations. In particular, has been seen how in case of a symplectic variety the Poisson cohomology coincides with the de Rham cohomology of the variety. Also has been analyzed other non-poisson structures like the contact varieties, which bracket is not a derivation in each coordinate, leads to the introduction of the Jacobi brackets. In a Jacobi variety, the fiber of the 1-jets admits a Lie algebriod structure which permits the introduction of the Lichnerowicz-Jacobi cohomology, who plays an important part in the process of the geometric quantization of the Jacobi variety, and also in the existence of the prequantization representation over a complex line fiber for a Jacobi variety